Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho 1OP2+1OQ2+1OR2=18 . Biết mặt phẳng PQR luôn tiếp xúc với mặt cầu S cố định. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M12;32;0 và cắt S tại hai điểm A,B phân biệt. Diện tích lớn nhất của ΔAOB là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng PQR .

Dễ thấy 1OH2=1OP2+1OQ2+1OR2⇒1OH2=18⇒OH=22 .

Khi đó PQR  luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=22 .

Ta có OM=14+34+0=1

Gọi I là trung điểm của AB, do ΔOAB  cân tại O nên SΔOAB=12OI.AB .

Đặt OI=x . Vì OI≤OM  nên 0

Ta có SΔOAB=12x.28−x2=x8−x2=8x2−x4 .

Xét hàm số fx=8x2−x4, 0

Vì f'x=4x4−x2>0  với mọi x∈0;1  nên fx≤f1=7 .

Suy ra diện tích của ΔOAB  lớn nhất bằng 7  đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.