Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB//CD,AB=2DC,∠ABC=450. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB và SC⊥BC,SC=a. Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là α. Khi α thay đổi, tìm cos α. để thể tích khối chóp S.ABCD có giá trị lớn nhất.

Cách giải:

Ta có BC⊥SCBC⊥SH⇒BC⊥SCH⇒BC⊥HC.

Khi đó ta có: SBC∩ABCD=BCSC⊂SBC,SC⊥BCgtHC⊂ABCD,HC⊥BCcmt⇒∠SBC;ABCD=∠SC;HC=∠SCH=α.

Xét tam giác vuông SHC ta có: SH=SC.sinα=a.sinα,HC=SC.cosα=a.cosα

Ta có: HC⊥SBcmt∠ABC=450gt⇒ΔBCH vuông cân tại C⇒HB=HC.2=a2.cosα

⇒AB=2HB=2a2.cosα và DC=HB=a2.cosα.

Gọi K là trung điểm của BH ta có CK⊥HB⇒CK⊥AB và CK=12BH=12a2cosα.

⇒SABCD=AB+CD.CK2=2a2.cosα+a2.cosα2.12a2cosα=32a2cos2α.

⇒V=13.SH.SABCD=13.a.sinα.32a2.cos2α=12a3sinα1−sin2α.

Đặt t=sinα,t∈0;1, xét hàm số ft=1−t3,t∈0;1 ta có f't=1−3t2=0⇒t=13.

Vậy VS.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi sinα=13⇒cosα=1−13=63 (do 0<α≤900 nên cosα>0).

Chọn B.