Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0;π2) , thỏa mãn hệ thức f(x)+tanx.f'(x)=xcos3x . Biết rằng 3f(π3)−f(π6)=aπ3+bln3 trong đó a,b∈ℚ . Tính giá trị của biểu thức P=a+b .

Đáp án A

Từ giả thiết, ta có: cosx.f(x)+sinx.f'(x)=xcos2x⇔[sinx.f(x)]'=xcos2x 

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được: ∫[sinx.f(x)]'dx=∫xcos2xdx⇒sinx.f(x)=x.tanx+ln|cosx|+C .

+ Với x=π3  ta có:sinπ3.f(π3)=π3.tanπ3+ln|cosπ3|+C⇒3.f(π3)=23π3−2ln2+2C

+ Với x=π6 , ta có: sinπ6.f(π6)=π6.tanπ6+ln|cosπ6|+C⇒f(π6)=19π3+ln3−2ln2+2C

Do đó: 3f(π3)−f(π6)=59π3−ln3⇒{a=59b=−1⇒P=a+b=−49 .