Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=mx3−2m−1x2+2mx−m−1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Để đồ thị hàm sốy=mx3−2m−1x2+2mx−m−1  có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình mx3−2m−1x2+2mx−m−1=0  ∗ phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: 

mx3−(2m−1)x2+2mx−m−1=0⇔(x−1)[mx2−(m−1)x+m+1]=0⇔x=1mx2−(m−1)x+m+1=0(∗∗)

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

⇔m≠0m.1−(m−1).1+m+1≠0Δ=(m−1)2−4m(m+1)>0⇔m≠0m−m+1+m+1≠0m2−2m+1−4m2−4m>0⇔m≠0m≠−2−3m2−6m+1>0⇔m≠0m≠−2−3−233

Mà m∈ℤ⇒m=−1

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C