Cho tứ diện ABCD có AB=a6, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm H của tam giác BCD, mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc 45⁰. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Gọi BM,DN lần lượt là các đường cao của tam giác BCD⇒BM∩DN=H

Ta có: CD⊥BMCD⊥AH⇒CD⊥(ABM)⇒CD⊥AM

⇒AM là đường cao của tam giác đều ACD, do đó M là trung điểm của CD.

Gọi P là trung điểm của AD, do ΔACD đều nên CP⊥AD

Ta có:

BC⊥AHBC⊥DN⇒BC⊥(ADN)⇒BC⊥ADAD⊥BAD⊥CP⇒AD⊥(BCP)⇒AD⊥NP

Ta có: (ADN)∩(ACD)=ADNP⊂(ADN),NP⊥AD(cmt)CP⊂(ACD),CP⊥AD(cmt)

Ta có: BC⊥ADN  cmt⇒CN⊥NP⇒NCP vuông tại N, lại có

∠NPC=450  cmt⇒∠NCP=450 hay ∠BCP=450   1

Gọi G=AM∩CP⇒G là trọng tâm tam giác đều ACD.

Ta có:

AD⊥(BCP)(cmt)⇒AD⊥BGCD⊥(ABM)(cmt)⇒CD⊥BG⇒BG⊥ACD mà G là trọng tâm tam giác đều ACD⇒BA=BC=BD=a6

Ta có BG⊥ACD⇒BG⊥CG⇒ΔBCG  vuông tại G  (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác BCG vuông cân tại G⇒BG=CG=BC2=a3

Ta có: CP=32CG=3a32=AC32 đều cạnh 3a3a nênSΔACD=3a234=9a234

Vậy VABCD=13BG.SΔACD=13.a3.9a234=9a34

Đáp án cần chọn là: C