Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [0 ;1], thỏa mãn f'(x)2=4⋅2x2+1−f(x) với mọi x thuộc đoạn [0;1] và f(1) = 2. Giá trị I=∫01xf(x)dx bằng

Ta có: f'(x)2=4⋅2x2+1−f(x)

⇔f'(x)2−4x.f'(x)+4x2=12x2+4−4x.f'(x)+f(x)⇔f'(x)−2x2=12x2+4−4[x.f(x)]'⇒∫01f'(x)−2x2dx=∫0112x2+4dx−4∫01x.f(x)'dx⇔∫01f'(x)−2x2dx=8−4x.fx01⇔∫01f'(x)−2x2dx=8−4.f(1)⇔∫01f'(x)−2x2dx=0⇒f'(x)=2x.

Từ đó: f(x)=∫f'(x)dx=∫2xdx=x2+C mà f(1)=2⇒C=1 nên f(x)=x2+1.