Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Phương pháp giải

- Khảo sát hàm số, lập BBT.

- Tương giao đồ thị giữa một hàm số và \(f'\left( x \right)\)

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Lời giải

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x\).

Số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = x\) (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.\) .

Ta có bảng xét dấu của hàm \(g'(x)\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\).

 Chọn C