Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất V0 khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng pq, trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số pqlà tối giản. Tính T=p+qV0.

Đáp án C.

Ta có BC⊥AB;BC⊥SA nên BC⊥SAB.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Khi đó AH⊥SBC và dA,SBC=AH.

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc SBA^.

Đặt SBA^=α.

Theo giả thiết ta có AB=asinα;SA=acosα.

Thể tích khối chóp S.ABCD là V=13.SA.SABCD=13sin2αcosαa3.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

sin2α.sin2α.2cos2α≤sin2α+sin2α+2cos2α33=827

Suy ra sin2αcosα≤239. Do đó V≥32a3.

Dấu bằng xảy ra khi sin2α=2cos2α⇒cosα=13.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng 32a3 khi cosα=13.

Suy ra V0=32a3;p=1,q=3 

⇒T=p+qV0=23a3.