Giả sử đường thẳng y=x+m cắt đồ thị (C) của hàm số y=x−11−2x tại hai điểm phân biệt E và F. Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất minS của biểu thức S=k14+k24−3k1k2.

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng đã cho là

x−11−2x=x+m⇔x−1=1−2xx+m

 (do x=12 không là nghiệm)

 ⇔2x2+2mx−m−1=0 (*).

Đồ thị (C) với đường thẳng đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔m2+2m+2>0 (nghiệm đúng với mọi m).

Giả sử Ex1;y1,Fx2;y2 thì x1,x2 là hai nghiệm của (*).

Suy ra x1+x2=−m;x1x2=−m+12.

Do đó 2x1−12x2−1=4x1x2−2x1+x2+1=−1.

Ta có

k1=−12x1−22;k2=−12x2−12

 nên k1k2=1.

Suy ra S≥2k12k22−3k1k2=−1. Dấu bằng xảy ra khi k1=−1k2=−1⇒x1=0x2=1 hoặc x1=1x2=0⇒m=−1. Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒1.