Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình 41+x+41-x=m+122+x-22-x+16-8m có nghiệm trên 0;1

Đáp án D

Phương trình tương đương với  44x+14x=4(m+1)2x-12x+16-8m 

⇔4x+14x=(m+1)2x-12x+4-2m (1)

Đặt 2x-12x=t→4x+14x=t2+2. Xét hàm số t(x)=2x-12x trên 0;1.

Đạo hàm t'(x)=2x.ln2+ln22x>0,∀x∈0;1⇒ Hàm số t (x) luôn đồng biến trên [0;1]. Suy ra minx∈[0;1]t(x)=t(0)=0 và maxx∈[0;1]t(x)=t(1)=32. Như vậy t∈0;32.

Phương trình (1) có dạng: t2+2=(m+1)t+4-2m⇔t2-(m+1)t+2m=0 

⇔(t-2)t+1-m=0⇔t=2∉0;32t=m-1

Phương trình (1) có nghiệm x∈0;1⇔ phương trình ẩn t có nghiệm

t∈0;32⇔0≤m-1≤32⇔1≤m≤52. Mà m∈ℤ nên m∈1;2 . Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 3.