Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R. Hình cầu (S) ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay (T) có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu (S) lại nội tiếp trong một hình nón tròn xoay (N) có góc ở đỉnh bằng 60°. Tính tỉ số thể tích của hình trụ (N) và hình nón (T).

Đáp án A.

Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp ∆SEF đều” (hình vẽ).

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên

AB=BD=2R=AB2⇔AB=2R .

⇒ Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là r=AB2=2R2 và h=AB=2R .

Thể tích khối trụ là VT=πr2h=π.2R22.2R=π2R32.

Ta có ∆SEF đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của ΔSEF.

Gọi H là trung điểm của EF thì SH=3OH=3R⇒HF=SH.tan30°=R3

⇒ Bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N) lần lượt là HF=R3 và SH=3R. Thể tích khối nón là VN=13π.HF2.SH=13πR32.3R=3πR3.

Vậy VTVN=π2R323πR3=26.