Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0,a2+b2+c2>0 đi qua điểm B(1;0;2) , C(-1;-1;0) và cách A(2;5;3) một khoảng lớn nhất. Khi đó giá trị của biểu thức M=a+cb+d là

Đáp án C.

Ta có BC→ =-2;-1;-2 nên phương trình đường thẳng BC là x=1-2ty=-t (t∈ℝ)z=2-2t .

Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) . Khi đó AH = dA;P≤AI và AH đạt giá trị lớn nhất khi H≡I. Suy ra mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với AI.

Từ I∈BC⇒I1-2t;-t;2-2t và AI →=-1-2t;-t-5;-1-2t .

Lại có AI⊥BC⇔AI →.BC →=0⇔2(1+2t)+(t+5)+2(1+2t)=0⇔t=-1.

Mặt phẳng (P) đi qua I(3;1;4) và nhận VTPT là AI →=1;-4;1 nên có phương trình tổng quát là: x-4y+z-3=0.

Vậy a=1,b=-4,c=1,d=-3→M=1+1-4-3=-27.