Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P:x+y−4z=0, đường thẳng d:x−12=y+1−1=z−31 và điểm A1;3;1 thuộc mặt phẳng P. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách d một khoảng cách lớn nhất. Gọi u→=a;b;1 là một VTCP của đường thẳng Δ. Tính a+2b.

Đáp án A

Phương pháp: 

Đánh giá, tìm vị trí của Δ để khoảng cách giữa 2 đường thẳng là lớn nhất.

Cách giải:

Kẻ AH vuông góc d, qua A kẻ d'//d. 

Dựng mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc AH, (Q) cắt (P) tại Δ0. Ta sẽ chứng minh Δ0 thỏa mãn yêu cầu đề bài (cách d một khoảng cách lớn nhất).

Vì AH⊥dAH⊥Q⇒d//Q⇒dd;Q=AH=dd;Δ0

 (do Δ0⊂Q)

Lấy Δ là đường thẳng bất kì qua A và nằm trong (P). Gọi (Q’) là mặt phẳng chứa d’ và

Δ⇒d//Q'

⇒dd;Q'=dH;Q' 

Kẻ

HA'⊥Q', A'∈Q'⇒dd;Q'=HA'=dd;Δ. 

Ta có: HA'≤HA⇒ Khoảng cách từng d đến Δ lớn nhất bằng AH khi Δ trùng Δ0.

*) Tìm tọa độ điểm H:

Gọi α: mặt phẳng qua A vuông góc d 

⇒α:2.x−1−1y−3+1z−1=0⇔2x−y+z=0

H=d∩α⇒x−12=y+1−1=z−31=2x−2−y−1+z−34+1+1=2x−y+z−66=0−66=−1 

⇒x=−1y=0z=2⇒H−1;0;2 

⇒AH→−2;−3;1 

Δ0  có 1 VTCP: u→=AH→;nP→, với nP→=1;1;−4 

⇒u→=11;−7;1⇒a=11;b=−7⇒a+2b=−3.