Cho số phức z thỏa mãn z<2. GTNN của biểu thức P=2z+1+2z−1+z−z¯−4i bằng

Đáp án B.

Phương pháp: 

Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN.

Cách giải:

Giả sử z=x+yi,  x,y∈R⇒Mx;y

là điểm biểu diễn của  z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

P=2z+1+2z−1+z−z¯−4i 

=2x+12+y2+x−12+y2+y−2

Đặt A−1;0, B1;0, C0;2 và H0;y là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó, P=2MA+MB+MC

Ta xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, (M di chuyển trên hình tròn x2+y2≤4)

+) Nếu M∈C1:x2+y2≤4,  y<0 thì ta luôn tìm được điểm

M'∈C1:x2+y2≤4,  y≥0 đối xứng với M qua Ox. Khi đó,

P=2MA+MB+HC

=2M'A+M'B+H'C>2MA+MB+HC

+) Ta xét điểm

M∈C2:x2+y2≤4,  y≥0 

Với M nằm trong nửa hình tròn C2, thay đổi trên đường thẳng y=m cố định 0≤m≤2 thì độ dài đoạn HC không đổi, MA+MB≥22HA+HC 

Ta có:

2HA+HC=2m2+1+2−m=fm,  m∈0;2 

f'm=2m2+1−1,  f'm=0⇔m=13 

fmmin=f13=1+32 

⇒Pmin=21+32=2+3

khi M0;13 hay z=i3.