Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa d:x−11=y+2−1=z−2 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng P:x+by+cz+d=0. Giá trị b+c+d là:

Đáp án D

Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và (P) tạo với Oy góc lớn nhất.

Vì (P) chứa d nên (P) đi qua điểm M(1;−2;0).

Phương trình mặt phẳng (P) là P:ax−1+by+2+cz=0   1.

Điều kiện a2+b2+c2>0.

Vì N(0;−1;2) nên N thuộc (P).

Do vậy ta có –a+b+2c = 0 hay a = b+2c.

Thay vào (1) ta được: b+2cx+by+cz+b−2c=0   2.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP→=b+2c;b;c, trục Oy có vectơ chỉ phương là j→=0;1;0.

Gọi α là góc của Oy và (P) ta có sinα=cosj→,nP→=b2b2+5c2+4cb.

Trường hợp 1: b = 0 thì α = 0.

Trường hợp 2: b ≠ 0 thì sinα=12+5cb2+4cb.

Đặt t=cb, xét hàm số ft=5t2+4t+2.

Ta có sinα lớn nhất khi ft=5t2+4t+2 nhỏ nhất ⇔t=−25⇔cb=−25⇔c=−2b5.

Thay vào (2), ta được: b−4b5x+by−2b5z+b+4b5=0⇔x+5y−2z+9=0.

Cách 2:

Ta có vectơ chỉ phương của d là vd→=1;−1;−2; vectơ chỉ phương của Oy là vOy→=0;1;0.

Gọi n→=vΔ→,J→=−1  −21       0;−2  10    0;1  −10    1=2;0;1.

Gọi nP→ là vectơ pháp tuyến của (P), suy ra nP→=n→,vΔ→=0       1−1  −2;1      2−2    1;2     01   −1=1;5;−2.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 1.x−1+5.y+2−2z=0⇔x+5y−2z+9=0