Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A0;8;2 và mặt cầu S có phương trình S:x−52+y+32+z−72=72 và điểm B9;−7;23 . Viết phương trình mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến P lớn nhất. Giả sử n→=1;m;nm,n∈ℤ là một vectơ pháp tuyến của P , tính tích m.n.

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu S có tâm  I5;−3;7 và bán kính R=62

 IA→=−5;11;−5⇒IA=171>62 nên điểm  A nằm ngoài mặt cầu.

 IB→=4;−4;16⇒IB=122>62 nên điểm B  nằm ngoài mặt cầu.

⇒ A,I,B không thẳng hàng.

Mặt phẳng P  qua A  và tiếp xúc với S  nên khi  P thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua A  và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi AB,P=α⇒dB,P=AB.sinα  đạt giá trị lớn nhất A,B,I,H  đồng phẳng ⇔AIB⊥P  ( H là hình chiếu của B lên P ).

Mặt phẳng P qua A  và nhận n→=1;m;n  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my−nz−8m−2n=0.

Mặt phẳng P  tiếp xúc với S⇔dI,P=R .

⇔5n−11m+51+m2+n2=62⇔5n−11m+52=721+m2+n2⇔49m2−47n2−110mn+50n−110m−47=0  1

Ta có: IA→,IB→=156;70;−24.

Gọi n1→  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng AIB , chọn n1→=13;5;−2

Do AIB⊥P⇔n1→.n→=0⇔13+5m−2n=0  2

Thế (2) vào (1) ta được phương trình: 2079m2+8910m+6831=0⇔m=−1m=−68312079l

  Thay m=−1  vào (2) suy ra: n=4

Vậy m.n=−4.

Cách 2:

Mặt cầu S có tâm I5;−3;7  và bán kính R=62

Mặt phẳng  P qua A  và nhận n→=1;m;n  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x+my+nz−8m−2n=0.

Mặt phẳng P  tiếp xúc với S:

⇔dI,P=R⇔5n−11m+51+m2+n2=62⇔dB,P=21n−15m+91+m2+n2=5n−11m+5−4m+16n+41+m2+n2≤5n−11m+5+44n−m+11+m2+n2≤62+442+−12+12n2+m2+11+m2+n2=182

Dấu bằng xảy ra khi n4=m−1=11⇔m=−1; n=4

Vậy m.n=−4.