Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn x+y10+log12x+12y=1+2xy. Khi biểu thức 4x2+1y2 đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy bằng:

Phương pháp:

- Xét hàm đặc trưng, rút y theo x

- Thế vào biểu thức 4x2+1y2, sử dụng: Biểu thức ax2+bx+ca>0 đạt GTNN tại x=−b2a. Từ đó tìm x, y.

Cách giải:

Với x, y ta có:

     x+y10+log12x+12y=1+2xy

⇔x+y10+logx+y2xy=1+2xy

⇔x+y10+logx+y−log2xy=1+2xy

⇔x+y10+logx+y−1=log2xy+2xy

⇔x+y10+logx+y10=log2xy+2xy *

Xét hàm số ft=logt+tt>0 ta có f't=1tln10+1>0∀t>0, nên hàm số y = f(t) đồng biến trên 0;+∞. 

Do đó *⇔x+y10=2xy⇔x+y=20xy⇒y=x20x−1.

Ta có:

P=4x2+1y2=4x2+20x−12x2=400x2−40x+5x2=400−40x+5x2.

Hàm số đạt GTNN khi 1x=402.5=4⇔x=14tm.

Khi đó Pmin khi x=14,y=116.

Vậy xy=14.116=164.

Chọn C.