Phương trình sin2x+3sinxcosx=1 có bao nhiêu nghiệm thuộc 0;2π?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng các công thức : sin2x=1−cos2x2;sin2x=2sinxcosx;cosa+b=cosacosb−sinasinb.

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos AcosX+BsinX=CA2+B2≥C, chia cả hai vế cho A2+B2 để ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có : sin2x+3sinxcosx=1⇔1−cos2x2+32sin2x=1

⇔32sin2x−12cos2x=12⇔12cos2x−32sin2x=12

⇔cosπ3.cos2x−sinπ3sin2x=12

⇔cos2x+π3=cosπ3⇔2x+π3=π3+k2π2x+π3=−π3+m2π⇔x=kπx=−π3+mπk,m∈ℤ

Vì x∈0;2π nên ta có

+ 0≤kπ≤2π⇔0≤k≤2⇔k=0⇒x=0k=1⇒x=πk=2⇒x=2π

+ 0≤−π3+m2π≤2π⇔16≤m≤76⇔m=1⇒x=2π3.