Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + f '(x) = e^−x, ∀ x ∈ ℝ và f(0) = 2. Tất cả các nguyên hàm của f(x)e^2x là

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) + f '(x) = e^−x

Û f(x)e^x + f '(x)e^x = e^−x .e^x  = 1

Û [f (x)e^x]' = 1

⇔∫fx.ex'dx=∫1dx

Û f(x)e^x = x + C'

Vì f(0) = 2 nên ta có:

2.e⁰ = 0 + C'

Þ C' = 2

Þ f(x)e^x = x + 2

 Þ f(x)e^2x = (x + 2).e^x

Khi đó ta có:∫f(x)e2xdx= ∫(x+2)exdx 

= ∫(x+2)dex 

= (x + 2)e^x − ∫exd(x+2) 

= (x + 2)e^x − ∫exdx 

= (x + 2)e^x – e^x + C

= (x + 1)e^x + C.

Vậy ta chọn phương án B.