Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng 36π, bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là

Vì hình cầu có thể tích bằng 36π nên bán kính hình cầu là R = 3.

Diện tích xung quanh của hình nón Sxq=πrl.

Gọi chiều cao của hình nón là h khi đó h∈0;6.

Ta có r2=h.2R−h=6h−h2, suy ra r=6h−h2.

Lại có l2=h.2R=6h, nên Sxq=π6h−h2.6h=π36h2−6h3.

Ta có 36h2−6h3=3h212−2h=3.h.h.12−2h≤3.h+h+12−2h33.

Hay 36h2−6h3≤192, dấu đẳng thức xảy ra khi h = 4.

Khi đó r=6h−h2=22.

Suy ra Sxq lớn nhất bằng 83π khi r=22.