Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2x - {5^m}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 6\,;\,\,6} \right]\) để bất phương trình \[f\left( {f\left( x \right)} \right) \ge x\] đúng với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( {2\,;\,\,6} \right)\)?

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right)} \right) \ge x \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( x \right) \ge f\left( x \right) + x.\)

Xét hàm số \(h\left( t \right) = f\left( t \right) + t\) trên tập số thực \(\mathbb{R}.\)

Ta có \(h'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(h\left( t \right) = f\left( t \right) + t\) luôn đồng biến trên tập \(\mathbb{R}.\)

Do đó \(f\left( {f\left( x \right)} \right) + f\left( x \right) \ge f\left( x \right) + x \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge x \Leftrightarrow {x^3} + x \ge {5^m}.\)

Để \(f\left( {f\left( x \right)} \right) \ge x \Leftrightarrow {x^3} + x \ge {5^m}\) đúng với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( {2\,;\,\,6} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\min _{\left[ {2\,;\,\,6} \right]}}\left( {{x^3} + x} \right) \ge {5^m} \Leftrightarrow {2^3} + 2 \ge {5^m} \Leftrightarrow m \le {\log _5}10.\)

Do \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 6\,;\,\,6} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 4\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\}.\)

Vậy có 8 giá trị nguyên của \(m\) cần tìm. Chọn C.