Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = 2m\) có nghiệm?

Điều kiện: \(8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 4.\)

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = \sqrt {9 - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}  \le 3 \Rightarrow 0 \le t \le 3\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = 2m\)

\( \Leftrightarrow 8 - {t^2} - 3 + t = 2m \Leftrightarrow  - {t^2} + t + 5 = 2m\).

Yêu cầu bài toán trở thành: \((*)\) có nghiệm \[x \in \left[ {0\,;\,\,3} \right]\].

Xét hàm số: \(f\left( t \right) =  - {t^2} + t + 5\) có \(f'\left( t \right) =  - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên:

Theo BBT và yêu cầu đề bài \( \Rightarrow  - 1 \le 2m \le \frac{4} \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m \le \frac{8}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu đề bài. Chọn B.