Cho hàm số \(y = \frac\) (1). Đường thẳng \(d:y = ax + b\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1). Biết \(d\) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm \[A,\,\,B\] sao cho \(\Delta OAB\) cân tại \[O.\] Khi đó \(a + b\) bằng

Tập xác định của hàm số \(y = \frac\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}.\)

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} < 0\,,\,\,\forall x \in D.\)

Mặt khác, \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là \[ - 1.\]

Gọi tọa độ tiếp điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), với \({x_0} \ne  - \frac{3}{2}.\)

Ta có: \[y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\{x_0} =  - 1\end{array} \right..\]

• Với \({x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} = 1.\) Phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - x\) loại vì \(A \equiv B \equiv O.\)

• Với \({x_0} =  - 2 \Rightarrow {y_0} = 0.\) Phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - x - 2\) thỏa mãn.

Vậy \(d:y = ax + b\) hay \(d:y =  - x - 2 \Rightarrow a =  - 1\,;\,\,b =  - 2 \Rightarrow a + b =  - 3.\)

Chọn D.