Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 2\) và mặt cầu \(\left( {S'} \right):{(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi luôn tiếp xúc với hai mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( {S'} \right).\) Biết rằng \(\left( P \right)\) luôn đi qua điểm \(M(a;b;c)\) cố định. Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng

Mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)\) và bán kính \(r = 1.\)

Ta có \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right) \Rightarrow OI = \sqrt 2 .\)

Từ đó ta có hình vẽ mô tả vị trí tương đối của \(\left( S \right)\) và \(\left( {S'} \right)\) như sau:

Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(O\) và \(I\) lên \((P)\) và \(M = OI \cap (P).\)

Khi đó ta có \[H,\,\,K,\,\,M\] thẳng hàng.

Xét hai tam giác đồng dạng \(\Delta OHM\) và \(\Delta IKM\) ta có: \(\frac = \frac = \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow MI = \frac{1}{2}MO.\)

Suy ra \(M\) đối xứng với \(O\) qua \(I\) nên \(M\) cố định.

Mặt khác ta có \(I\) là trung điểm \[OM\] nên \(M\left( {2\,;\,\,0\,;\,\,2} \right)\).

Do đó \(a = 2\,,\,\,b = 0\,,\,\,c = 2 \Rightarrow a + b + c = 4.\) Chọn B.