Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4, BC=2, SA=43, ∠SAB=∠SAC=300. Gọi G1;G2;G3lần lượt là trọng tâm các tam giác ΔSBC,ΔSCA,ΔSAB và T đối xứng với S qua mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp TG1G2G3bằng \[\frac{a}{b}\], với a,b∈ℕ và ab tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=2a−b.

Phương pháp giải:

- Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh BC⊥(SAM), từ đó xác định chiều cao hạ từ đỉnh S của khối chóp bằng cách sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

- Xác định tỉ số \[\frac{{d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{{S_{\Delta {G_1}{G_2}{G_3}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\], từ đó suy ra tỉ số VT.G1G2G3VS.ABC.

- Tính chiều cao của khối chóp, chính là chiều cao của tam giác SAM nhờ vào diện tích tam giác SAM, muốn tínhSΔSAM ta sử dụng định lí Pytago tính từng cạnh của tam giác sau đó áp dụng công thức He-rong SΔSAM=p(p−SA)(p−AM)(p−SM)với p là nửa chu vi tam giác SAM.

- Tính VS.ABC, từ đó tính VT.G1G2G3, suy ra \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] và tính P.

Giải chi tiết:

Xét tam giác SAB và ΔSACcó:

SA chung

\[AB = AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {gt} \right)\]

∠SAB=∠SAC=300(gt)

⇒ΔSAB=ΔSAC(c.g.c)

⇒SB=SC (2 cạnh tương ứng) ⇒ΔSBC cân tại S.

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AC ta có

{SM⊥BCAM⊥BC⇒BC⊥(SAM).

Trong (SAM) kẻ SH⊥AM(H∈AM) ta có: {SH⊥AMSH⊥BC(BC⊥(SAM))⇒SH⊥(ABC).

Dễ thấy (G1G2G3)//(ABC) và d(S;(G1G2G3))d(S;(ABC))=SG1SM=23

⇒d(S;(G1G2G3))=23SH.

\[ \Rightarrow d\left( {T;\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)} \right) = 2SH - \frac{2}{3}SH = \frac{4}{3}SH\].

Lại có ΔG1G2G3 đồng dạng với ΔABC theo tỉ số k=G1G2AB=G1G2MN.MNAB=23.12=13.

⇒SΔG1G2G3=19SΔABC

⇒VT.G1G2G3VS.ABC=d(T;(G1G2G3))d(S;(ABC)).SΔG1G2G3SΔABC=43.19=427

Xét tam giác vuông \[ABM\] có: AM=AB2−BM2=42−12=15.

⇒SΔABC=12AM.BC=12.15.2=15.

Xét tam giác SAB có:

SB2=SA2+AB2−2SA.AB.cos∠SAB

=(43)2+42−2.43.4.cos300=16

\[ \Rightarrow SB = 4 = SC\]

Xét tam giác vuông \[SBM\] có SM=SB2−BM2=42−12=15.

Gọi là nửa chu vi tam giác SAM ta có p=SA+AM+SM2=43+15+152=23+15.

⇒SΔSAM=p(p−SA)(p−AM)(p−SM)=36=6.

Lại có SΔSAM=12SH.AM⇒SH=2SΔSAMAM=2.615=1215.

⇒VS.ABC=13SH.SΔABC=13.1215.15=4.

⇒VT.G1G2G3=427VS.ABC=427.4=1627.

⇒a=16;b=27. Vậy P=2a−b=2.16−27=5.

Đáp án C.