Cho hàm số y=x4−2mx2+m, có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn (γ):(x−1)2+(y−1)2=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ điểm A, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A.

- Tìm điểm cố định mà Δ đi qua với mọi m.

- Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (γ):(x−1)2+(y−1)2=4.

- Biện luận: Để Δ cắt đường tròn (γ)theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì d(I;Δ)phải lớn nhất. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên tìm GTLN của d(I;Δ), từ đó tìm m.

Giải chi tiết:

Vì A∈(C) và A có hoành độ bằng 1 nên ta có A(1;1−m).

Ta có y'=4x3−4mx⇒y'(1)=4−4m.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: y=(4−4m)(x−1)+1−m⇔(4−4m)x−y−3+3m=0(Δ).

Ta có:

\[\left( \Delta \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {4 - 4m} \right)x - y - 3 + 3m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\]

⇔(−4x+3)m+4x−y−3=0∀m

⇔{−4x+3=04x−y−3=0⇔{x=34y=0

⇒ Đường thẳng Δ luôn đi qua điểm F(34;0)∀m.

Đường tròn (γ):(x−1)2+(y−1)2=4 có tâm I(1;1), bán kính R=2.

Để Δ cắt đường tròn (γ)theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì d(I;Δ). phải lớn nhất.

Ta có:d(I;Δ)≤IF (quan hệ đường vuông góc, đường xiên).

⇒d(I;Δ)max=IF⇔IF⊥Δ.

Ta có: IF→=(−14;−1);uΔ→=(1;4−4m).

⇒IF→.uΔ→=0⇒−14.1−1.(4−4m)=0⇔m=1716.

Vậy để Δ cắt đường tròn (γ):(x−1)2+(y−1)2=4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì m=1716.

Đáp án B.