Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(4x−x2)+13x3−3x2+8x−53trên đoạn [1;3].

Giải chi tiết:

Ta có:

g′(x)=(4−2x)f′(4x−x2)+x2−6x+8=−2(x−2)f′(4x−x2)+(x−2)(x−4)=(x−2)[−2f′(4x−x2)+x−4]g′(x)=(4−2x)f′(4x−x2)+x2−6x+8=−2(x−2)f′(4x−x2)+(x−2)(x−4)=(x−2)[−2f′(4x−x2)+x−4].

g'(x)=(4−2x)f'(4x−x2)+x2−6x+8

=−2(x−2)f'(4x−x2)+(x−2)(x−4)

=(x−2)[−2f'(4x−x2)+x−4]

Cho g'(x)=0⇔[x=2−2f'(4x−x2)+x−4=0

Xét hàm số h(x)=4x−x2 với x∈[1;3] ta có h'(x)=4−2x=0⇔x=2

h(2)=4;h(1)=3;h(3)=3

⇒{min[1;3]h(x)=3max[1;3]h(x)=4⇒h(x)∈[3;4] khi x∈[1;3].

Dựa vào BBT ta thấy với \[4x - {x^2} \in \left[ {3;4} \right]\] thì f'(4x−x2)>0⇒−2f'(4x−x2)<0.

Lại có x−4<0∀x∈[1;3], do đó −2f'(4x−x2)+x−4<0∀x∈[1;3].

Suy ra g'(x)=0⇔x=2.

Vậy max[1;3]g(x)=g(2)=f(4)+5=5+5=10.

Đáp án A.