Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {m^2}\left( {\sqrt {2 + x} + \sqrt {2 - x} } \right) + 4\sqrt {4 - {x^2}} + m + 1.\) Tổng tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 là

ТХĐ: \(D = \left[ { - 2\,;\,\,2} \right].\)

Đặt \[t = \sqrt {2 + x}  + \sqrt {2 - x} \,;\,\,t \in \left[ {2\,;\,\,2\sqrt 2 } \right].\]

\( \Leftrightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {t^2} - 4.\)

\( \Rightarrow y = g\left( t \right) = {m^2}t + 2\left( {{t^2} - 4} \right) + m + 1 = 2{t^2} + {m^2}t + m - 7\) với \(t \in \left[ {2\,;\,\,2\sqrt 2 } \right].\)

Ta có: \(g'\left( t \right) = 4t + {m^2}\,;\)\(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - {m^2}}}{4} < 0\,;\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow g\left( t \right)\) đồng biến trên \[\left[ {2\,;\,\,2\sqrt 2 } \right]\]\( \Rightarrow {\min _{\left[ {2\,;\,\,2\sqrt 2 } \right]}}g\left( t \right) = g\left( 2 \right) = 4\).

Mà \[g\left( 2 \right) = 2{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow 2{m^2} + m + 1 = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right..\]

Tổng các giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán là \(S = 1 + \left( { - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{1}{2}.\) Chọn C.