Cho số phức z=a+bia,b∈ℝ thỏa mãn 4z−z¯−15i=iz+z¯−12 và môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị a4+b bằng

Phương pháp:

- Thay z = a + bi vào biểu thức 4z−z¯−15i=iz+z¯−12, từ đó tìm mối liên hệ giữa a, b và tìm điều kiện của b

- Tính z−12+3i theo b

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: z=a+bi⇒z¯=a−bi.

Khi đó:

     4z−z¯−15i=iz+z¯−12

⇔4a+bi−a+bi−15i=ia+bi+a−bi−12

⇔8b−15=2a−12

Do 2a−12≥0 ∀a nên 8b−15≥0⇔b≥158.

Ta có

z−12+3i=a−12+b+3i

=a−122+b+32

=122a−12+2b+62

=128a−15+2b+62

=124b2+32b+21b≥158

Xét hàm số fx=4x2+32x+21 với x≥158 ta có f'x=8x+32>0,∀x≥158.

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên 158;+∞, do đó fx≥f158=152116.

Khi đó minz−12+3i=12152116=398⇔b=158⇒a=12.

Vậy khi môđun của số phức z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất thì a4+b=18+158=2.

Chọn D.