Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:x+y−4z=0, đường thẳng d:x−12=y+1−1=z−31 và điểm A(1; 3; 1) thuộc mặt phẳng (P). Gọi Δ là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và cách đường thẳng d một khoảng lớn nhất. Gọi u→=a;b;1 là một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ. Giá trị của a + 2b là:

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 3) và có 1 vecto chỉ phương u1→=2;−1;1.

Ta thấy A∉d. Gọi I=d∩P, khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ

                                         x=1+2ty=−1−tz=3+tx+y−4z=0⇔x=1+2ty=−1−tz=3+t1+2t−1−t−12−4t=0⇔t=−4x=−7y=3z=−1

⇒I−7;3;−1.

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Δ.

Khi đó ta có: dΔ;d=dΔ;Q=dA;Q.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (Q), d ta có AH≤AK.

Do đó dΔ;dmax=AK khi H≡K hay AK là đoạn vuông góc chung của d và Δ.

Gọi mặt phẳng (R) chứa A và d. Khi đó mp(R) có 1 VTPT là nR→=AM→;u1→=−2;4;8

Ta có AK⊂RAK⊥Q⇒R⊥Q

Gọi nQ→ là 1 VTPT của (Q) ta có nQ→⊥nR→nQ→⊥u1→⇒nQ→=nR→;u1→=12;18;−6

Gọi uΔ→ là 1 VTCP của đường thẳng Δ. Ta có Δ⊂PΔ//Q⇒uΔ→=nP→;nQ→=66;−42;6//11;−7;1.

⇒a=11;b=−7.

Vậy a+2b=11+2.−7=−3.

Chọn C.