Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 0) và B(3; 0; 1). Điểm I(a; b; c) nằm trên mặt phẳng(P): x + 2y - z + 2 = 0 sao cho IA + IB là nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức T = a + b + c.

Đáp án A

Xét vị trí tương đối của A và B so với mặt phẳng (P).

Ta có: 2+2.1−0+23+2.0−1+2=6.4=24>0 Þ A, B nằm cùng phía so với (P).

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (P). Khi đó: IA + IB = IA' + IB nhỏ nhất khi A', I, B thẳng hàng. Gọi M là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: uMA→=nP→=1;2;−1, MA đi qua A(2; 1; 0).

Phương trình đường thẳng MA:x=t+2y=2t+1z=−t⇒Mt+2;2t+1;−t.

Lại có M∈P⇒t+2+22t+1−−t+2=0⇔6t+6=0⇔t=−1⇒M1;−1;1.

Do M là trung điểm AA' => A'(0; -3; 2).

Ta có: uA'B→=A'B→=3;3;−1, A'B đi qua B(3; 0; 1).

Phương trình đường thẳng A'B:x=3t+3y=3tz=−t+1⇒I3t+3;3t;−t+1.

Lại có I∈P⇒3t+3+2.3t−−t+1+2=0⇔10t+4=0⇔t=−25.

⇒I95;−65;75⇒T=a+b+c=95−65+75=2.