Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tích phân ∫02xf'xdx bằng:

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần với ∫02xf'xdx.

- Từ giả thiết f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2 tính f(2)

- Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính J=∫02f2−xdx, từ đó tính ∫02fxdx và tính I.

Cách giải:

Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx.

⇒I=∫02xf'xdx=xfx20−∫02fxdx

Theo bài ra ta có: f0=3,fx+f2−x=x2−2x+2.

⇒f0+f2=2⇒f2=2−f0=2−3=−1.

⇒I=2f2−∫02fxdx=2−∫02fxdx.

Lấy tích phân hai vế biểu thức fx+f2−x=x2−2x+2 ta có

∫02fxdx+∫02f2−xdx=∫02x2−2x+2dx=83.

Xét J=∫02f2−xdx, đặt t=2−x⇒dt=−dx. Đổi cận x=0⇒t=2x=2⇒t=0.

⇒J=−∫20ftdt=∫02fxdx.

⇒∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43.

Vậy ⇒I=−2−43=−103.

Chọn A.