Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn 5fx−7f1−x=3x2−2x,∀x∈ℝ. Biết rằng tích phân I=∫01x.f'xdx=−ab (với a, b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản). Tính T=3a−b.

Xét tích phân I=∫01x.f'xdx.

Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx, khi đó ta có I=xfx10−∫01fxdx=f1−∫01fxdx.

Theo bài ra ta có: 5fx−7f1−x=3x2−2x

Thay x=0⇒5f0−7f1=0

Thay x=1⇒5f1−7f0=−3

⇒f0=78,f1=58.

Xét tích phân ∫01fxdx.

Từ 5fx−7f1−x=3x2−2x lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta có:

5∫01fxdx−7∫01f1−xdx=∫013x2−2xdx.

⇔5∫01fxdx+7∫01f1−xd1−x=−2

⇔5∫01fxdx+7∫10fxdx=−2

⇔5∫01fxdx−7∫01fxdx=−2

⇔−2∫01fxdx=−2

⇔∫01fxdx=1

Suy ra I=f1−∫01fxdx=58−1=−38⇒a=3,b=8.

Vậy T=3a−b=3.3−8=1.

Chọn D.