Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x)=(x+1)2(x−3). Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x)=f(x2+2x+6).

Theo bài ra ta có: f'(x)=0⇔(x+1)2(x−3)=0⇔[x=−1(nghiemboi2)x=3(nghiemdon)

Ta có:

g(x)=f(x2+2x+6)

⇒g'(x)=2x+22x2+2x+6f'(x2+2x+6)

=x+1x2+2x+6f'(x2+2x+6)

Cho g'(x)=0⇔[x+1=0f'(x2+2x+6)=0⇔[x=−1x2+2x+6=3

⇔[x=−1x2+2x+6=9⇔[x=−1x2+2x−3=0⇔[x=−1x=1x=−3 (đều là các nghiệm đơn)

(Ta không xét x2+2x+6=−1vì f'(x) không đổi dấu qua x=-1 nên nghiệm của phương trình x2+2x+6=−1không làm cho g'(x) đổi dấu).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Đáp án C.