Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a. Các cặp mặt phẳng (ACD) và (BCD), (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau. Tính theo a độ dài cạnh CD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì tam giác ACD, BCD là các tam giác cân lần lượt tại A và B nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AN \bot CD}\\{BN \bot CD}\end{array}} \right.\].

Lại có {(ACD)⊥(BCD)=CDAN⊂(ACD),AN⊥CDBN⊂(BCD),BN⊥CD⇒∠((ACD);(BCD))=∠(AN;BN)=∠ANB=900.

Dễ thấy ΔACD=ΔBCD(c.c.c)⇒AN=BN⇒ΔABNvuông cân tại N ⇒MN=12AB.

Chứng minh tương tự ta có ΔMCD vuông cân tại M nên MN=12CD.

⇒AB=CD.

Ta có: BN=2MN,CN=12CD=MN.

Xét tam giác vuông BCN có: BN2+CN2=BC2

⇒2MN2+MN2=a2⇒MN=a33.

Vậy CD=2MN=2a33.

Đáp án A.