Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-5;3] có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x0 và trục hoành lần lượt bằng 6; 3; 12; 2. Tích phân ∫−312f2x+1+1dx bằng

Đáp án D

Đặt t=2x+1⇒dt=2dx  .

Đổi cận:x=−3⇒t=−5x=1⇒t=3 .

Do đó ∫−312f2x+1+1dx=∫−532ft+12dt=∫−53ftdt+∫−5312dt=∫−53ftdt+4 .

Để tính ∫−53ftdt  ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:

Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn −5;3  thì đồ thị hàm số fx  cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ x=−5; x=a; x=b; x=c  (với−5

Trong đó ∫−5aftdt=∫−5aftdt=SA=6  và ∫abftdt=−∫abftdt=−SB=−3 .

∫bcftdt=∫bcftdt=SC=12; ∫c3ftdt=SD=2.

Vì vậy ∫−53ftdt=∫−5aftdt+∫abftdt+∫bcftdt+∫c3ftdt=6−3+12+2=17

Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.