Ta có: ∠BFC=∠BEC=90⇒BCEF∠BFC=∠BEC=90⇒BCEF nội tiếp

Gọi I là trung điểm BC

Ta có: ΔBFCΔBFC vuông tại F có I là trung điểm BC ⇒IF=IB=IC⇒IF=IB=IC

 ΔBECΔBEC vuông tại E có I là trung điểm BC ⇒IE=IB=IC⇒IE=IB=IC

⇒IE=IF=IB=IC⇒I⇒IE=IF=IB=IC⇒I là tâm (BCEF)

b) Xét ΔMKBΔMKB và ΔMCT:ΔMCT: Ta có: {∠MKB=∠MCT(BKTCnt)∠TMCchung{∠MKB=∠MCT(BKTCnt)∠TMCchung

⇒ΔMKB∼ΔMCT(g−g)⇒MKMC=MBMT⇒MK.MT=MB.MC(1)⇒ΔMKB∼ΔMCT(g−g)⇒MKMC=MBMT⇒MK.MT=MB.MC(1)

Xét ΔMFBΔMFB và ΔMCE:ΔMCE: Ta có: {∠MFB=∠MCE(BCEFnt)∠EMCchung{∠MFB=∠MCE(BCEFnt)∠EMCchung

⇒ΔMFB∼ΔMCE(g−g)⇒MFMC=MBME⇒MB.MC=MF.ME(2)⇒ΔMFB∼ΔMCE(g−g)⇒MFMC=MBME⇒MB.MC=MF.ME(2)

Ta có: ∠AFC=∠ADC=90⇒AFDC∠AFC=∠ADC=90⇒AFDC nội tiếp

Tương tự ⇒ABDE,AEHF⇒ABDE,AEHF nội tiếp

Ta có: ∠FEI=∠FEB+∠BEI=∠FAH+∠EBI∠FEI=∠FEB+∠BEI=∠FAH+∠EBI (ΔEBIΔEBI cân tại I)

=∠FAH+∠EAD=∠BAC=∠BDF=∠FAH+∠EAD=∠BAC=∠BDF (AFDC nội tiếp)

⇒FDIE⇒FDIE nội tiếp ⇒∠MDF=∠MEI⇒∠MDF=∠MEI

Xét ΔMFDΔMFD và ΔMIE:ΔMIE: Ta có: {∠MDF=∠MEI∠EMIchung{∠MDF=∠MEI∠EMIchung

⇒ΔMFD∼ΔMIE(g−g)⇒MFMI=MDME⇒MD.MI=MF.ME(3)⇒ΔMFD∼ΔMIE(g−g)⇒MFMI=MDME⇒MD.MI=MF.ME(3)

Từ (1),(2) và (3) ⇒MD.MI=MK.MT⇒MD.MI=MK.MT

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với NS cắt AB,AD lần lượt tại J và L 

Vì CJ∥NSCJ∥NS và NS⊥IH⇒CJ⊥IHNS⊥IH⇒CJ⊥IH mà CD⊥HLCD⊥HL

⇒I⇒I là trực tâm tam giác CHL ⇒LI⊥HC⇒LI⊥HC mà AJ⊥CHAJ⊥CH

⇒IL∥BJ⇒IL∥BJ mà I là trung điểm BC ⇒L⇒L là trung điểm CJ

mà CJ∥NSCJ∥NS ⇒G⇒G là trung điểm NS (dùng Thales để biến đổi thôi,bạn tự chứng minh nha)