1.
Do E,D là các trung điểm => ED là đường trung bình của tam giác ABC. => ED // AB và ED = 1/2 AB (*).
Do AB //EI, AD//FI (gt) => ◇AFID là hình bình hành. 
=> AF=DI = 1/2 AB (**) 
từ (*) và (**) => ED = DI.
tg BED và tg CAD có: ED = DI (cm trên).
                                      góc BDE = góc CDI (đối đỉnh)
                                     DB = DC ( D là trung điểm BC)
=> tg BED = tg CAD (cgc)
=> IC = BE (đpcm). Và góc BED = góc DIC, mà 2 góc này ở vih trí so le tr IC // BE (đpcm).
2. Gọi J là giao điểm của 3 đường trung tuyến tam giác ABC.
có AD  vg góc BE => tam giác EJD vuông tại J. 
=> góc JED + góc JDE = 90 ₫. (1)
mà AD // IF => góc JDE = góc FIE. (2)
mặt khác BE//IC (cmt) => góc JED = góc EIC (3)
từ (1),(2),(3) => góc FIE + góc EIC = 90₫. Hay tg FIC vuông tại I (đpcm).

xét tg IFC: 
ta có: IF = AD ( Do ◇ AFID là hbh - cm trên)
IC = BE (cm câu a).
=> Chu vi tg IFC = IF + IC + CF = AD + BE +CF (đpcm).