a, Xét (O) có: 

+ AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm ⇒ OB ⊥ AB ⇒ ˆABO=90°ABO^=90°

+ AC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ OC ⊥ AC ⇒ ˆACO=90°ACO^=90°

Có ˆABO=ˆACO=90°ABO^=ACO^=90°

⇒ Hai điểm B và C cùng nhìn AO dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm B và C cùng thuộc đường tròn đường kính AO

⇒ Bốn điểm A, B, C, O cùng thuộc đường kính AO

b, Xét (O) có:

AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

B, C là hai tiếp điểm

⇒ AB = AC, AO là phân giác ˆBACBAC^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔABC có: AB = AC (cmt)

⇒ ΔABC cân tại A

Mà  AO là phân giác ˆBACBAC^ (cmt)

⇒ AO là trung trực của BC

Mà AO cắt BC tại H

⇒ AO ⊥ BC tại H

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔOCA vuông tại C (ˆACO=90°ACO^=90°), CH ⊥ AO ( AO ⊥ BC tại H) có:

OC² = OH . OA 

Mà OC = OD = R

⇒ OD² = OH . OA

⇒ ODOA=OHODODOA=OHOD 

Xét ΔOHD và ΔODA có: 

ODOA=OHODODOA=OHOD (cmt)

ˆAODAOD^ : góc chung

⇒ ΔOHD ~ ΔODA (c.g.c)

c, Xét (O) có:

ˆACD=ˆDECACD^=DEC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn CDCD⏜)

Hay ˆACD=ˆAECACD^=AEC^

Xét ΔACD và ΔAEC có:

ˆACD=ˆAECACD^=AEC^ (cmt)

ˆCAECAE^: góc chung

⇒ ΔACD ~ ΔAEC (g.g)

⇒ ACAE=ADACACAE=ADAC (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AC² = AE . AD

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔOCA vuông tại C (ˆACO=90°ACO^=90°), CH ⊥ AO ( AO ⊥ BC tại H) có:

AC² = AH . AO 

Mà AC² = AE . AD (cmt)

⇒ AH . AO = AE . AD

⇒ AHAD=AEAOAHAD=AEAO (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ΔAHD và ΔAEOcó:

AHAD=AEAOAHAD=AEAO (cmt)

ˆEAOEAO^ : góc chung

⇒ ΔAHD ~ ΔAEO (c.g.c)

⇒ ˆAHD=ˆAEOAHD^=AEO^ (các góc tương ứng)

Hay ˆAHD=ˆOEDAHD^=OED^

Có ˆAHD+ˆDHO=180°AHD^+DHO^=180° (hai góc kề bù)

⇒ ˆDEO+ˆDHO=180°DEO^+DHO^=180°

Xét tứ giác OHDE có: ˆDEO+ˆDHO=180°DEO^+DHO^=180° (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác OHDE là tứ giác nội tiếp

⇒ ˆOHE=ˆODEOHE^=ODE^ (hai góc ở vị trí đối nhau OE)

Xét ΔOED có: OE = OD = R

⇒ ΔOED cân tại O

⇒ ˆOED=ˆODEOED^=ODE^

Mà ˆOHE=ˆODEOHE^=ODE^ (cmt), ˆAHD=ˆOEDAHD^=OED^ (cmt)

⇒ ˆAHD=ˆOHEAHD^=OHE^

AO ⊥ BC tại H (cmt) ⇒ ˆAHC=ˆOHC=90°AHC^=OHC^=90°

Có:

ˆAHD+ˆDHC=ˆAHC=90°AHD^+DHC^=AHC^=90°

ˆOHE+ˆEHC=ˆOHC=90°OHE^+EHC^=OHC^=90°

Mà ˆAHD=ˆOHEAHD^=OHE^ (cmt)

⇒ ˆDHC=ˆEHCDHC^=EHC^

⇒ HC là phân giác ˆDHEDHE^

Gọi I là giao điểm của HC và DE

⇒ HI là phân giác ˆDHEDHE^

Xét ΔDHE có: HI là phân giác ˆDHEDHE^ (cmt)

⇒ IDIE=HDHEIDIE=HDHE (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mà AH ⊥ HI ( AO ⊥ BC tại H)

⇒ AH là phân giác ngoài 

⇒ ADAE=HDHEADAE=HDHE (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mà DIEI=HDHEDIEI=HDHE (cmt)

⇒ ADAE=IDIEADAE=IDIE

Xét ΔABE có: MD // BE (MN // BE)

⇒ MDBE=ADAEMDBE=ADAE (hệ quả định lí Talets)

Xét ΔDIN có: DN // BE (MN // BE)

⇒ NDBE=IDIENDBE=IDIE (hệ quả định lí Talets)

Mà MDBE=ADAEMDBE=ADAE (cmt), ADAE=IDIEADAE=IDIE (cmt)

⇒ MDBE=NDBEMDBE=NDBE ⇒ MD = ND ⇒ D là trung điểm của MN