1) Chứng minh DQ // BC:

Ta có AD = 3 và AC = 20, suy ra DC = AC - AD = 20 - 3 = 17.
Ta có CE = 16 và AC = 20, suy ra AE = AC - CE = 20 - 16 = 4.
Để chứng minh DQ // BC, ta sẽ sử dụng định lý Thales đảo. Ta cần chứng minh:

AD/AB = AQ/AC

Vì DQ // BC (giả thiết), theo định lý Thales ta có:

AD/AB = AQ/AC

Ta có AD = 3, AB = 15, AC = 20. Vậy:

3/15 = AQ/20

Suy ra AQ = (3 * 20) / 15 = 4

Vì AE = 4 nên Q trùng với E. Vậy ta cần chứng minh DE // BC.

Ta có AD/AB = 3/15 = 1/5 và AE/AC = 4/20 = 1/5.

Vậy AD/AB = AE/AC = 1/5.

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra DE // BC (điều phải chứng minh).

2) Chứng minh N là trung điểm DE:

Gọi M là trung điểm của BC. AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Xét tam giác ABC có DE // BC (chứng minh trên).
Áp dụng định lý Thales cho tam giác ABC với DE // BC, ta có:
AD/AB = AE/AC = DE/BC = 1/5

Suy ra DE = BC/5

Xét tam giác ADE và tam giác MBC. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.
Vì DE // BC nên theo hệ quả của định lý Thales, ta có:
AN/AM = AD/AB = 1/5 và EN/MI = AE/AC = 1/5

Xét tam giác ADE và đường trung tuyến AN. Gọi P là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh P trùng với N.

Xét tam giác MBC và đường trung tuyến MI.

Xét tam giác ADE có N thuộc AM. Gọi P là trung điểm của DE. Ta cần chứng minh N trùng P.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADE và cát tuyến BNC, ta có:

(AB/BD) * (DN/NE) * (EC/CA) = 1

(15/12) * (DN/NE) * (16/20) = 1

(5/4) * (DN/NE) * (4/5) = 1

DN/NE = 1

Suy ra DN = NE

Vậy N là trung điểm của DE (điều phải chứng minh).