a) Ta có BE,CFBE,CF là đường cao của ΔABCΔABC nên ˆBFC=ˆBEC=90oBFC^=BEC^=90o

⇒F,E⇒F,E cùng nhìn cạnh BCBC dưới một góc là 90o90o nên BCEFBCEF nội tiếp đường tròn đường kính (BC)(BC)

b) Xét ΔKBFΔKBF và ΔKECΔKEC có:

ˆKK^ chung

ˆKBF=ˆKECKBF^=KEC^ (cùng bù ˆFBCFBC^ do BCEF nội tiếp chứng minh trên)

⇒ΔKBF∼ΔKEC⇒ΔKBF∼ΔKEC (g.g)

⇒KBKE=KFKC⇒KBKE=KFKC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒KB.KC=KE.KF⇒KB.KC=KE.KF (đpcm)

c) Ta có tứ giác AMBCAMBC nội tiếp đường tròn (O)(O)

⇒ˆAMB+ˆACB=180o⇒AMB^+ACB^=180o (1)

Tứ giác BCEFBCEF nội tiếp chứng minh câu a nên ˆEFB+ˆACB=180oEFB^+ACB^=180o (2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆAMB=ˆEFBAMB^=EFB^ (cùng bù ˆACBACB^)

mà ˆAFK=ˆEFBAFK^=EFB^ (đối đỉnh)

Từ 2 điều trên ⇒ˆAMB=ˆAFK⇒AMB^=AFK^

Xét ΔAMBΔAMB và ΔAFKΔAFK có:

ˆAA^ chung

ˆAMB=ˆAFKAMB^=AFK^ (chứng minh trên)

⇒ΔAMB∼ΔAFK⇒ΔAMB∼ΔAFK (g.g)

⇒AMAF=ABAK⇒AMAF=ABAK (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AM.AK=AF.AB⇒AM.AK=AF.AB (*)

Gọi AH⊥BCAH⊥BC tại D ⇒AD⊥BC⇒AD⊥BC tại D

Xét ΔAFHΔAFH và ΔADBΔADB

ˆAA^ chung

ˆAFH=ˆADB=90oAFH^=ADB^=90o

⇒ΔAFH∼ΔADB⇒ΔAFH∼ΔADB (g.g)

⇒AFAD=AHAB⇒AFAD=AHAB (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AF.AB=AH.AD⇒AF.AB=AH.AD  (**)

Từ (*) và (**) suy ra AM.AK=AH.ADAM.AK=AH.AD (***)

Xét ΔAMHΔAMH và ΔADKΔADK có:

ˆAA^ chung

AMAD=AHAKAMAD=AHAK (suy ra từ (***))

⇒ΔAMH∼ΔADK⇒ΔAMH∼ΔADK (c.g.c)

⇒ˆAMH=ˆADK⇒AMH^=ADK^ (hai góc tương ứng bằng nhau).