a) Xét hai tam giác ABD và EBD có:

AB = EB (gt)

ˆB1=ˆB2(gt)B1^=B2^(gt)

BD: cạnh chung

Vậy: ΔABD=ΔEBD(c−g−c)ΔABD=ΔEBD(c−g−c)

Suy ra: ˆBAD=ˆBEDBAD^=BED^ (hai góc tương ứng)

Mà ˆBAD=90oBAD^=90o

Vậy ˆBED=90oBED^=90o hay DE ⊥⊥ BC

Vì AB = EB (gt)

⇒ΔABE⇒ΔABE cân tại B

⇒⇒ BD là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của AE

Do đó: AE ⊥⊥ BD.

b) ΔDECΔDEC vuông tại E

⇒⇒ DE < DC (cạnh góc vuông bé hơn cạnh huyền)

Mà DA = DE (ΔABD=ΔEBDΔABD=ΔEBD)

Do đó: DA < DC.

c) Xét hai tam giác vuông ADF và EDC có:

DA = DE (ΔABD=ΔEBDΔABD=ΔEBD)

ˆADF=ˆEDCADF^=EDC^ (đối đỉnh)

Vậy: ΔADF=ΔEDC(cgv−gn)ΔADF=ΔEDC(cgv−gn).

d) Hai đường cao AC và EF cắt nhau tại D

⇒⇒ D là trực tâm của tam giác

nên D ∈∈ EF

Do đó: ba điểm E, D, F thẳng hàng (đpcm).