Gọi giao điểm của AC và BD là O.

a) Xét ∆ABC và ∆DCB có:

ˆBAC=ˆCDB=90° (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, ∆ABC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).
 

b) Vì ∆ABC = ∆DCB nên ˆACB=ˆDBC (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:

ˆOCB+ˆCBO+ˆBOC= 180°.

Mà ˆOCB=ˆCBO do ˆACB=ˆDBC nên 2ˆCBO+BOC^ = 180°

Suy ra 2ˆCBO= 180° – ˆBOC

Do đó, ˆCBO = 180°−ˆBOC/2  (1)

Xét ∆ABD và ∆DCA có:

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, ∆ABD = ∆DCA (c – c – c).

Suy ra, ˆADB=ˆDAC.

Xét tam giác OAD có:

ˆOAD+ˆADO+ˆAOD = 180°.

Mà ˆOAD=ˆADO do ˆADB=DAC^ nên 2ˆADO+AOD^ = 180°

Suy ra 2ˆADO = 180° – ˆAOD

Do đó, ˆADO=180°−ˆAOD/2 (2)

Mà ˆAOD = ˆBOC (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, ˆCBO=ˆADO hay ˆCBD=ˆADB.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.