Giả sử 2n+3 không chia hết cho 11, tức là số dư của phép chia là khác 0. Khi đó, ta có thể viết:

2n+3 = 11k + r

Trong đó k là một số nguyên bất kỳ và r là số dư khác 0 khi chia 2n+3 cho 11.

Chuyển vế ta được:

2n = 11k - 3 + r

Nhân cả hai vế của phương trình trên với 2 ta có:

4n = 22k - 6 + 2r

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

2n = 11k - 3 + r - 3

Tức là 2n cùng chia cho 11 với r-3. Tuy nhiên, vì r-3 là số dư khác 0 của phép chia 2n+3 cho 11, nên r-3 chỉ có thể là một trong các giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 hoặc 10.

Khi đó, để 2n cùng chia hết cho 11, ta cần phải có r-3 = 0. Tức là r = 3.

Như vậy, ta suy ra 2n + 3 = 11k + r = 11k + 3, tức là 2n+3 chia hết cho 11. Vậy ta đã chứng minh điều phải chứng minh.