Để hai đường thẳng (d) và (d') vuông góc với nhau, ta cần có tích vô hướng của hai vector chỉ phương của chúng bằng 0:

(a, b) . (c, d) = ac + bd = 0

Ta có vector chỉ phương của đường (d) là (-1, 1), và vector chỉ phương của đường (d') là (m^2 - 3, 1).

Vì đường (d) cắt (d') tại điểm A(3, 1), nên ta có thể tính được tọa độ của vector nối hai điểm A và B trên đường (d'), và từ đó tính được vector chỉ phương của đường AB.

Tọa độ của B là (x, y), với y = 1 (do B nằm trên đường (d)), ta có:

AB = (x - 3, 0)

Vector chỉ phương của AB là (x - 3, 0).

Do hai đường thẳng (d) và AB cắt nhau tại điểm A, ta có thể tính được vector chỉ phương của đường AB bằng cách lấy vector nối hai điểm A và B, sau đó chia cho độ dài của vector đó:

AB / ||AB|| = (x - 3, 0) / ||AB||

Vector chỉ phương của đường AB phải trùng với vector chỉ phương của đường (d') để hai đường thẳng vuông góc với nhau. Tức là:

(m^2 - 3, 1) . (x - 3, 0) / ||AB|| = 0

Từ đó ta có:

(m^2 - 3)(x - 3) = 0

Vì điểm A(3, 1) nằm trên đường (d) nên ta có:

-1.3 + n - 1 = 1

n = 5

Vậy đường (d) có phương trình là y = -x + 4.

Từ hai đường thẳng (d) và (d') vuông góc với nhau, ta có:

(-1, 1) . (m^2 - 3, 1) = 0

m^2 - 3 - 1 = 0

m = ±2

Ta có thể kiểm tra lại bằng cách tính tọa độ của điểm cắt của hai đường thẳng:

• x + 5 = (m^2 - 3)x + m

(3 - m)/(m^2 - 4) = x

Ta thấy khi m = 2, tọa độ của điểm cắt là (3, 1), vậy m = 2 là giá trị thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Khi m = 2, ta có:

(d') = - x + 1

Vậy n = 5, m = 2 là các giá trị thỏa mãn yêu cầu của đề bài.