a) Điểm O nằm giữa hai điểm còn lại.

b) Điểm O là trung điểm của MN. Vì OM=ON và ON cắt MN tại I, ta có:
OMN và OIN đồng dạng (cùng có 1 góc vuông và 1 góc bằng nhau).
Do đó, $\frac{OM}{ON}=\frac{ON}{OI}$ hay $OI= suy ra O là trung điểm của MN.

c) Ta có $MN=OM+ (cm).

d) Vẽ đường thẳng d qua M song song với ON. Khi đó, d cắt Ox tại A và Oy tại B.
Do d song song với ON nên theo góc đối, ta có $\angle M AOD$.
Tương tự, do d song song với OM nên $\angle NOM=\angle BOE$.
Mà $\angle M NOM$ nên $\angle AOD=\angle BOE$.
Suy ra tam giác AOD đồng dạng với tam giác BEO.
Do đó, $\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OE}$ hay $\frac{OA}{OA+ON}=\frac{OD}{OD+OM}$.
Thay vào các giá trị đã biết, ta được: $\frac{OA}{OA+2}=\frac{OD}{OD+2}$.
Giải phương trình này ta được: $OA=OD=2\sqrt{2}$ (cm).
Vậy độ dài đoạn AB là $AB=OA+OB=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ (cm).