a) Chứng minh A > 1/2:
Ta chia tổng A thành hai phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/200 > 51 x 1/200 = 51/200
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 51/200
Sử dụng tính chất "nghịch biến":
1/x < 1/(x-1) + 1/(x+1) (với x > 1)
Ta áp dụng tính chất này cho từng phần tử trong hai phần của A:
1/101 < 1/100 + 1/102
1/102 < 1/101 + 1/103
...
1/149 < 1/148 + 1/150
1/150 < 1/149 + 1/151
...
1/199 < 1/198 + 1/200
1/200 < 1/199 + 1/201
Tổng các phần tử trong hai phần của A được đại diện bởi biểu thức:
1/100 + 1/101 + ... + 1/200
= (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200) + 1/100 + 1/200
> (49/149 + 51/200) + (49/150 + 51/201) + 1/100 + 1/200
> 1/2
Vậy A > 1/2.
b) Chứng minh A > 7/12:
Ta chia tổng A thành ba phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/174) + (1/175 + 1/176 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/174 > 25 x 1/174 = 25/174
1/175 + 1/176 + ... + 1/200 > 26 x 1/200 = 13/100
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 25/174 + 13/100
Sử dụng tính chất "nghịch biến":
1/x < 1/(x-1) + 1/(x+1) (với x > 1)
Ta áp dụng tính chất này cho từng phần tử trong ba phần của A:
1/101 < 1/100 + 1/102
1/102 < 1/101 + 1/103
...
1/149 < 1/148 + 1/150
1/150 < 1/149 + 1/151
...
1/173 < 1/172 + 1/174
1/174 < 1/173 + 1/175
...
1/199 < 1/198 + 1/200
1/200 < 1/199 + 1/201
Tổng các phần tử trong ba phần của A được đại diện bởi biểu thức:
1/100 + 1/101 + ... + 1/200
= (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/174) + (1/175 + 1/176 + ... + 1/200) + 1/100 + 1/200
> (49/149 + 25/174 + 13/100) + (49/150 + 25/175 + 13/101) + (49/151 + 25/176 + 13/102) + 1/100 + 1/200
> 7/12
Vậy A > 7/12.
c) Chứng minh A < 1:
Ta chia tổng A thành hai phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/200 > 51 x 1/200 = 51/200
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 51/200
Tổng các số hạng là một số hữu hạn, vậy tổng A cũng là một số hữu hạn. Do đó, ta có:
A < 1
Vậy A < 1.