Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho A = 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200

Cho A = 1/101+1/102+1/103+...+1/199+1/200
a) Chứng minh A>1/2
b) Chứng minh A>7/12
c) Chứng minh A<1
3 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
99
1
0
Angel of Study
29/04/2023 19:12:58
+5đ tặng
a) Chứng minh A > 1/2:
Ta chia tổng A thành hai phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/200 > 51 x 1/200 = 51/200
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 51/200
Sử dụng tính chất "nghịch biến":
1/x < 1/(x-1) + 1/(x+1) (với x > 1)
Ta áp dụng tính chất này cho từng phần tử trong hai phần của A:
1/101 < 1/100 + 1/102
1/102 < 1/101 + 1/103
...
1/149 < 1/148 + 1/150
1/150 < 1/149 + 1/151
...
1/199 < 1/198 + 1/200
1/200 < 1/199 + 1/201
Tổng các phần tử trong hai phần của A được đại diện bởi biểu thức:
1/100 + 1/101 + ... + 1/200
= (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200) + 1/100 + 1/200
> (49/149 + 51/200) + (49/150 + 51/201) + 1/100 + 1/200
> 1/2
Vậy A > 1/2.

b) Chứng minh A > 7/12:
Ta chia tổng A thành ba phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/174) + (1/175 + 1/176 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/174 > 25 x 1/174 = 25/174
1/175 + 1/176 + ... + 1/200 > 26 x 1/200 = 13/100
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 25/174 + 13/100
Sử dụng tính chất "nghịch biến":
1/x < 1/(x-1) + 1/(x+1) (với x > 1)
Ta áp dụng tính chất này cho từng phần tử trong ba phần của A:
1/101 < 1/100 + 1/102
1/102 < 1/101 + 1/103
...
1/149 < 1/148 + 1/150
1/150 < 1/149 + 1/151
...
1/173 < 1/172 + 1/174
1/174 < 1/173 + 1/175
...
1/199 < 1/198 + 1/200
1/200 < 1/199 + 1/201
Tổng các phần tử trong ba phần của A được đại diện bởi biểu thức:
1/100 + 1/101 + ... + 1/200
= (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/174) + (1/175 + 1/176 + ... + 1/200) + 1/100 + 1/200
> (49/149 + 25/174 + 13/100) + (49/150 + 25/175 + 13/101) + (49/151 + 25/176 + 13/102) + 1/100 + 1/200
> 7/12
Vậy A > 7/12.

c) Chứng minh A < 1:
Ta chia tổng A thành hai phần:
A = (1/101 + 1/102 + ... + 1/149) + (1/150 + 1/151 + ... + 1/200)
Giả sử ta đánh giá giá trị của mỗi phần. Ta có:
1/101 + 1/102 + ... + 1/149 > 49 x 1/149 = 49/149
1/150 + 1/151 + ... + 1/200 > 51 x 1/200 = 51/200
Do đó, ta có:
A > 49/149 + 51/200
Tổng các số hạng là một số hữu hạn, vậy tổng A cũng là một số hữu hạn. Do đó, ta có:
A < 1
Vậy A < 1.

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
Ng Nhật Linhh
29/04/2023 19:13:45
+4đ tặng

ta có 
1/101 > 1/150
1/102> 1/150
...>1/150
1/150 = 1/150
=> 1/101 + 1/102 + .... + 1/150 > 1/150 +1/150+....+1/150(50 số hạng )= 1/3
ta có
1/151 >1/200
1/152 > 1/200
..>1/200
1/200 = 1/200
=> 1/151 + 1/152+....+1/200 > 1/200+1/200+ ...+1/200( 50 số hạng) = 1/4
==> 1/101 + 1/102+....+1/200 > 1/3 +1/4
==> A > 7/12

1
0
Phạm Tuyên
29/04/2023 19:13:56
+3đ tặng
Phạm Tuyên
Nhớ vote điểm với like câu trả lời của mk nhé

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×