Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của các hình học phổ biến như tứ giác nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp để chứng minh.

a) Ta có tứ giác MAOB nội tiếp vì góc MAO và góc MBO đều là góc nội tiếp trên cùng một cung AMB. Tứ giác MAHD nội tiếp vì góc MHD và góc MAD đều là góc nội tiếp trên cùng một cung MAB.

b) Gọi E là trung điểm của AB. Ta có AE = BE vì chúng là 2 tiếp tuyến từ cùng một điểm đến đường tròn (O). Khi đó, ta có:

OM = OE - EM OM = R - EM OM = R - AB/2

Ta cũng có thể tính được OH bằng cách sử dụng định lí Euclid về đường tròn ngoại tiếp:

OD = R AD = BD = R Vì tứ giác MAHD nội tiếp nên góc MAD và góc MHD bù nhau, tức là MAD + MHD = 180 độ. Ta cũng có góc MHD + OHM = 90 độ vì OH là đường cao trong tam giác OHM. Từ đó, ta có:

MAD + OHM = 90 độ MAD = OHM - 90 độ

Áp dụng định lí sin cho tam giác MAD, ta có:

sin(MAD) = AD / MD sin(MAD) = R / (R + AB/2)

Áp dụng định lí cos cho tam giác OHM, ta có:

cos(OHM) = OH / OM cos(OHM) = OH / (R - AB/2)

Từ đó, suy ra được:

OH = cos(OHM) * (R - AB/2) OH = cos(arcsin(R/(R+AB/2))-90°) * (R - AB/2) OH = sin(arcsin(R/(R+AB/2))) * (R - AB/2) OH = AB / 2 * (R - AB/2) / (R + AB/2)

Do đó:

OH * OM = AB / 2 * (R - AB/2) / (R + AB/2) * (R - AB/2)

Ta cũng có thể tính OH * OM bằng cách sử dụng định lí Euclid về đường tròn ngoại tiếp cho tam giác OMA, ta có:

AM * AB = OM * OH + R^2

Do đó:

OH * OM = (AM * AB - R^2) / AB

Kết hợp hai công thức trên, ta có:

AB / 2 * (R - AB/2) / (R + AB/2) * (R - AB/2) = (AM * AB - R^2) /