a) Ta có:

- BD là đường phân giác của góc ABC, do đó AB/BD = AC/CD.
- DE là đường cao của tam giác ABD, do đó DE^2 = BD*AD. (Đây là kết quả của định lí Euclid về tam giác vuông, còn gọi là định lí Pythagoras).
- E là trung điểm của BD (do BD là đường phân giác và DE là đường cao của tam giác ABD), do đó EB = ED.
- Vậy, theo cạnh - góc - cạnh, ta có: ∆ABD = ∆EBD.

b) Ta có:

- Vì DE vuông góc với BC nên ∠BDE = 90°.
- Gọi N là giao điểm của tia phân giác của góc ABC với BC, ta có AN là đường phân giác của góc BAC, do đó AB/BN = AC/CN.
- Gọi P là giao điểm của BN và DE, ta có BP/BM = EP/EM (vì BM là cạnh của tam giác BDM và EM là cạnh của tam giác EDM, và BP và EP là đường cao tương ứng trong hai tam giác đó).
- Từ AB/BN = AC/CN suy ra AB/AC = BN/CN. Kết hợp với BP/BM = EP/EM ta có:

AB/AC = BN/CN = BP/BM = EP/EM

- Do đó, theo định lí phép đổi vế: AB*EM = AC*EP.
- Từ hai đẳng thức trên ta có:

AB*EM = AC*EP
AB*(BM - BE) = AC*(EC + EM)
AB*BM - AB*BE = AC*EC + AC*EM
AB*BM - BP*BM = AC*EC + EP*AC
BM*(AB - BP) = AC*(EP - BE)
BM/BP = (EP - BE)/(AB - BP)
BM/BP = BE/AB

- Như vậy, theo định lí phép đổi vế, ta có BM/AB = BP/BE.
- Do đó, theo định lí phép đổi vế một lần nữa, ta có ∆BCM cân tại B.

c) Ta có:

- Vì ∆ABD = ∆EBD, nên AD = BE.
- Từ b) ta biết rằng BM/BP = BE/AB, do đó BM = BP*BE/AB.
- Từ tam giác BMN vuông tại N, ta có MN = BM*sin(∠MBN) = BM*sin(∠CBA/2).
- Từ tam giác BPM vuông tại P, ta có PM = BP*sin(∠BPM) = BP*sin(∠CBA/2).
- Từ đó, ta có MN + PM = BP*(BE + AB)/(2*AB) = BP/2.
- Từ tam giác BDE vuông tại E, ta có DE = BD*sin(∠BDE) = BD*sin(∠CBA/2).
- Từ tam giác BDP vuông tại P, ta có DP = BD*sin(∠BDP) = BD*sin(∠CBA/2).
- Từ đó, ta có DE + DP = BD.
- Vậy, ta có:

AD + EC = BE + EC > DE = DP + EN + EM
= BP/2 + BD + BM
= BP/2 + AB*(BD/AB + BM/AB)
= BP/2 + AB*(CD/AC + BM/AB)
> BP/2 + AB*(CD/AC + BE/AB) = BP/2 + AC/2

- Do AB < AC nên BP/2 < AC/2, vậy ta có AD + EC > DM.