a) AEHF có góc AEH và góc AFH vuông => AEFH nội tiếp
b) góc ABC và góc AIC cùng chắn cung AC => góc ABC = góc AIC
Xét tam giác ABK và tam giác CIK có
góc ABC = góc AIC (cmt)
góc AKB = góc CKB (2 góc đối đỉnh)
=> tam giác ABK đồng dạng vs tam giác CIK (TH góc.góc)
c)  kẻ tiếp tuyến d của đường tròn tại tiếp điểm A
(Mục đính là để có d vuông góc vs AI, chứng minh d//EF => AI vuông góc vs EF)
có góc CAd và góc ABC cùng chắn cung AC => góc CAd = góc ABC 
mà góc ABC + góc EHB = 90°(do HE ⊥AB=>EHB vuông tại E)=> góc CAd + góc EHB = 90° (1)
lại có góc AHE + góc EHB = 90°(do AH ⊥BC) mà góc AHE = góc AFE (cùng chắn cung AE của đường tròn ngoại tiếp AEHF) => góc AFE + góc EHB = 90° (2)
Từ (1) và (2) => góc CAd = góc AFE => d//EF(2 góc so le trong bằng nhau) mà d⊥AI(do d là tiếp tuyến tại A) => AI ⊥ EF